常见排序算法的原理及Java实现

  1. 1. 排序算法概述
    1. 1.1 术语说明
    2. 1.2 算法对比
    3. 1.3 算法分类
  2. 2. 原理及代码实现
    1. 2.1 冒泡排序
      1. 2.1.1 算法描述
      2. 2.1.2 动图演示
      3. 2.1.3 代码实现
      4. 2.1.4 算法分析
    2. 2.2 选择排序
      1. 2.2.1 算法描述
      2. 2.2.2 动图演示
      3. 2.2.3 代码实现
      4. 2.2.4 算法分析
    3. 2.3 插入排序
      1. 2.3.1 算法描述
      2. 2.3.2 动图演示
      3. 2.3.3 代码实现
      4. 2.3.4 算法分析
    4. 2.4 希尔排序
      1. 2.4.1 算法描述
      2. 2.4.2 动图演示
      3. 2.4.3 代码实现
      4. 2.4.4 算法分析
    5. 2.5 快速排序
      1. 2.5.1 算法描述
      2. 2.5.2 动图演示
      3. 2.5.3 代码实现
      4. 2.5.4 算法分析
    6. 2.6 其他排序算法
      1. 2.6.1 归并排序
      2. 2.6.2 堆排序
      3. 2.6.3 计数排序
      4. 2.6.4 桶排序
      5. 2.6.5 基数排序
  3. 3. 排序效率测试
  4. 4. 参考资料

1. 排序算法概述

1.1 术语说明

排序:对一序列对象根据某个关键字进行排序。常见术语如下:

  • 稳定:如果a原本在b前面,而a=b,排序之后a仍然在b的前面。
  • 不稳定:如果a原本在b的前面,而a=b,排序之后a可能会出现在b的后面。
  • 内排序:所有排序操作都在内存中完成。
  • 外排序:由于数据太大,因此把数据放在磁盘中,而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行。
  • 时间复杂度: 一个算法执行所耗费的时间。
  • 空间复杂度:运行完一个程序所需内存的大小。

1.2 算法对比

十大常见排序算法的对比如下:

排序算法对比

说明:

  • n: 数据规模
  • k: “桶”的个数
  • In-place: 占用常数内存,不占用额外内存
  • Out-place: 占用额外内存

1.3 算法分类

常见的快速排序、归并排序、堆排序、冒泡排序等属于比较排序。在排序的最终结果里,元素之间的次序依赖于它们之间的比较。每个数都必须和其他数进行比较,才能确定自己的位置。在冒泡排序之类的排序中,问题规模为n,又因为需要比较n次,所以平均时间复杂度为O(n²)。在归并排序、快速排序之类的排序中,问题规模通过分治法消减为logN次,所以时间复杂度平均O(nlogn)。比较排序的优势是:适用于各种规模的数据,也不在乎数据的分布,都能进行排序。可以说,比较排序适用于一切需要排序的情况。

计数排序、基数排序、桶排序则属于非比较排序。非比较排序是通过确定每个元素之前,应该有多少个元素来排序。针对数组arr,计算arr[i]之前有多少个元素,则唯一确定了arr[i]在排序后数组中的位置。非比较排序只要确定每个元素之前的已有的元素个数即可,所有一次遍历即可解决。算法时间复杂度O(n)。非比较排序时间复杂度底,但由于非比较排序需要占用空间来确定唯一位置。所以对数据规模和数据分布有一定的要求。

2. 原理及代码实现

2.1 冒泡排序

冒泡排序(Bubble Sort)是一种简单的排序算法。它重复地走访过要排序的数列,一次比较两个元素,如果它们的顺序错误就把它们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换,也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

2.1.1 算法描述

  • 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大,就交换它们两个;
  • 对每一对相邻元素作同样的工作,从开始第一对到结尾的最后一对,这样在最后的元素应该会是最大的数;
  • 针对所有的元素重复以上的步骤,除了最后一个;
  • 重复步骤1~3,直到排序完成。

2.1.2 动图演示

冒泡排序

2.1.3 代码实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
/**
* 冒泡排序
*/
public class BubbleSort implements Sort {
@Override
public void sort(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++){
for (int j = 0; j < array.length - 1 - i; j++) {
if (array[j + 1] < array[j]) {
int temp = array[j + 1];
array[j + 1] = array[j];
array[j] = temp;
}
}
}
}
}

2.1.4 算法分析

最佳情况:T(n) = O(n) 最差情况:T(n) = O(n2) 平均情况:T(n) = O(n2)

2.2 选择排序

选择排序(Selection Sort)是表现最稳定的排序算法之一,因为无论什么数据进去都是O(n2)的时间复杂度,所以用到它的时候,数据规模越小越好。唯一的好处可能就是不占用额外的内存空间。它的工作原理:首先在未排序序列中找到最小(大)元素,存放到排序序列的起始位置,然后,再从剩余未排序元素中继续寻找最小(大)元素,然后放到已排序序列的末尾。以此类推,直到所有元素均排序完毕。

2.2.1 算法描述

n个记录的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果。具体算法描述如下:

  • 初始状态:无序区为R[1..n],有序区为空;
  • 第i趟排序(i=1,2,3…n-1)开始时,当前有序区和无序区分别为R[1..i-1]和R(i..n)。该趟排序从当前无序区中-选出关键字最小的记录 R[k],将它与无序区的第1个记录R交换,使R[1..i]和R[i+1..n)分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区;
  • n-1趟结束,数组有序化了。

2.2.2 动图演示

选择排序

2.2.3 代码实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
/**
* 选择排序
*/
public class SelectionSort implements Sort{
@Override
public void sort(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
int minIndex = i;
for (int j = i; j < array.length; j++) {
if (array[j] < array[minIndex]) { // 找到最小的数
minIndex = j; // 将最小数的索引保存
}
}
int temp = array[minIndex];
array[minIndex] = array[i];
array[i] = temp;
}
}
}

2.2.4 算法分析

最佳情况:T(n) = O(n2) 最差情况:T(n) = O(n2) 平均情况:T(n) = O(n2)

2.3 插入排序

插入排序(Insertion-Sort)是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列,对于未排序数据,在已排序序列中从后向前扫描,找到相应位置并插入。插入排序在实现上,通常采用in-place排序(即只需用到O(1)的额外空间的排序),因而在从后向前扫描过程中,需要反复把已排序元素逐步向后挪位,为最新元素提供插入空间。

2.3.1 算法描述

一般来说,插入排序都采用in-place在数组上实现。具体算法描述如下:

  • 从第一个元素开始,该元素可以认为已经被排序;
  • 取出下一个元素,在已经排序的元素序列中从后向前扫描;
  • 如果该元素(已排序)大于新元素,将该元素移到下一位置;
  • 重复步骤3,直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置;
  • 将新元素插入到该位置后;
  • 重复步骤2~5。

2.3.2 动图演示

插入排序

2.3.3 代码实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
/**
* 插入排序
*/
public class InsertSort implements Sort {
@Override
public void sort(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length - 1; i++) {
int current = array[i + 1];
int preIndex = i;
while (preIndex >= 0 && current < array[preIndex]) {
array[preIndex + 1] = array[preIndex];
preIndex--;
}
array[preIndex + 1] = current;
}
}
}

2.3.4 算法分析

最佳情况:T(n) = O(n) 最坏情况:T(n) = O(n2) 平均情况:T(n) = O(n2)

2.4 希尔排序

希尔排序(Shell Sort)是希尔于1959年提出的一种排序算法。希尔排序也是一种插入排序,它是插入排序经过改进之后的一个更高效的版本,也称为缩小增量排序,同时该算法是冲破O(n2)的第一批算法之一。它与插入排序的不同之处在于,它会优先比较距离较远的元素。

2.4.1 算法描述

我们选择增量gap=length/2,缩小增量继续以gap = gap/2的方式,这种增量选择我们可以用一个序列来表示,{n/2,(n/2)/2…1},称为增量序列。希尔排序的增量序列的选择与证明是个数学难题,我们选择的这个增量序列是比较常用的,也是希尔建议的增量,称为希尔增量,但其实这个增量序列不是最优的。此处我们使用希尔增量作为示例。

先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序,具体算法描述:

  • 选择一个增量序列t1,t2,…,tk,其中ti>tj,tk=1;
  • 按增量序列个数k,对序列进行k 趟排序;
  • 每趟排序,根据对应的增量ti,将待排序列分割成若干长度为m 的子序列,分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时,整个序列作为一个表来处理,表长度即为整个序列的长度。

2.4.2 动图演示

希尔排序

2.4.3 代码实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
/**
* 希尔排序
*/
public class ShellSort implements Sort {
@Override
public void sort(int[] array) {
int len = array.length;
int temp, gap = len / 2;
while (gap > 0) {
for (int i = gap; i < len; i++) {
temp = array[i];
int preIndex = i - gap;
while (preIndex >= 0 && array[preIndex] > temp) {
array[preIndex + gap] = array[preIndex];
preIndex -= gap;
}
array[preIndex + gap] = temp;
}
gap /= 2;
}
}
}

2.4.4 算法分析

最佳情况:T(n) = O(nlog2 n) 最坏情况:T(n) = O(nlog2 n) 平均情况:T(n) =O(nlog2n) 

2.5 快速排序

快速排序(Quick Sort)的基本思想:通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分,其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小,则可分别对这两部分记录继续进行排序,以达到整个序列有序。

2.5.1 算法描述

快速排序使用分治法来把一个串(list)分为两个子串(sub-lists)。具体算法描述如下:

  • 从数列中挑出一个元素,称为 “基准”(pivot);
  • 重新排序数列,所有元素比基准值小的摆放在基准前面,所有元素比基准值大的摆在基准的后面(相同的数可以到任一边)。在这个分区退出之后,该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区(partition)操作;
  • 递归地(recursive)把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

2.5.2 动图演示

快速排序

2.5.3 代码实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
/**
* 快速排序
*/
public class QuickSort implements Sort {
@Override
public void sort(int[] array) {
quick(array, 0, array.length - 1);
}

private void quick(int[] array, int left, int right) {
if (left < right) {
int partitionIndex = partition(array, left, right);
quick(array, left, partitionIndex - 1);
quick(array, partitionIndex + 1, right);
}
}

private int partition(int[] array, int left, int right) {
int pivot = left;
int index = pivot + 1;
for (int i = index; i <= right; i++) {
if (array[i] < array[pivot]) {
swap(array, i, index);
index++;
}
}
swap(array, pivot, index - 1);
return index - 1;
}

private void swap(int array[], int x, int y) {
int temp = array[x];
array[x] = array[y];
array[y] = temp;
}
}

2.5.4 算法分析

最佳情况:T(n) = O(nlogn) 最差情况:T(n) = O(n2) 平均情况:T(n) = O(nlogn)

2.6 其他排序算法

2.6.1 归并排序

归并排序(Merge Sort)和选择排序一样,归并排序的性能不受输入数据的影响,但表现比选择排序好的多,因为始终都是O(n log n)的时间复杂度。代价是需要额外的内存空间。归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法(Divide and Conquer)的一个非常典型的应用。归并排序是一种稳定的排序方法。将已有序的子序列合并,得到完全有序的序列;即先使每个子序列有序,再使子序列段间有序。

最佳情况:T(n) = O(n) 最差情况:T(n) = O(nlogn) 平均情况:T(n) = O(nlogn)

2.6.2 堆排序

堆排序(Heap Sort)是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构,并同时满足堆积的性质:即子结点的键值或索引总是小于(或者大于)它的父节点。

最佳情况:T(n) = O(nlogn) 最差情况:T(n) = O(nlogn) 平均情况:T(n) = O(nlogn)

2.6.3 计数排序

计数排序(Counting Sort)的核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。 作为一种线性时间复杂度的排序,计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。计数排序是一种稳定的排序算法。计数排序使用一个额外的数组C,其中第i个元素是待排序数组A中值等于i的元素的个数。然后根据数组C来将A中的元素排到正确的位置。它只能对整数进行排序。

最佳情况:T(n) = O(n+k) 最差情况:T(n) = O(n+k) 平均情况:T(n) = O(n+k)

2.6.4 桶排序

桶排序(Bucket Sort)是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系,高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。桶排序的工作的原理:假设输入数据服从均匀分布,将数据分到有限数量的桶里,每个桶再分别排序(有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排序)

最佳情况:T(n) = O(n+k) 最差情况:T(n) = O(n+k) 平均情况:T(n) = O(n2)

2.6.5 基数排序

基数排序(Radix Sort)也是非比较的排序算法,对每一位进行排序,从最低位开始排序,复杂度为O(kn),为数组长度,k为数组中的数的最大的位数。基数排序是按照低位先排序,然后收集;再按照高位排序,然后再收集;依次类推,直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的,先按低优先级排序,再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前,高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序,分别收集,所以是稳定的。

最佳情况:T(n) = O(n * k) 最差情况:T(n) = O(n * k) 平均情况:T(n) = O(n * k)

3. 排序效率测试

可以写成一个测试类工具包,能够更简便地研究排序算法的时间复杂度。

SortUtils.java

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
import java.text.SimpleDateFormat;
import java.util.Random;

/**
* 整数排序测试工具类
*/
public class SortUtils {

/**
* 生成一个乱序的数组
*
* @param count 数组的数量
* @param startRanger 数字范围起始值
* @param endRanger 数字范围终止值
* @return 乱序的整数数组
*/
public static int[] generateRandomArray(int count, int startRanger, int endRanger) {
if (startRanger <= endRanger) {
int[] arr = new int[count];
Random random = new Random();
for (int i = 0; i < count; i++) {
arr[i] = startRanger + random.nextInt(endRanger - startRanger );
}
return arr;
} else {
return null;
}

}

/**
* 生成一个从0开始的近乎顺序的整型数组
*
* @param count 数组的数量
* @param swapCount 数字范围起始值
* @return 近乎顺序的整型数组
*/
public static int[] generateNearlyOrderedArray(int count, int swapCount) {

int[] arr = new int[count];
for (int i = 0; i < count; i++) {
arr[i] = i;
}
Random random = new Random();
for (int i = 0; i < swapCount; i++) {
int x = random.nextInt(count);
int y = random.nextInt(count);
int temp = arr[x];
arr[x] = arr[y];
arr[y] = temp;
}
return arr;

}

/**
* 对整型数组做完全拷贝
*
* @param source 源数组
* @return 数组拷贝
*/
public static int[] copyArray(int[] source) {
if (source != null) {
int dest[] = new int[source.length];
for (int i = 0; i < source.length; i++) {
dest[i] = source[i];
}
return dest;
} else {
return null;
}
}

/**
* 判断整型数组是否已经升序排列
*
* @param arr 整型数组
* @return 已经升序排列为true否则为false
*/
public static boolean isSorted(int[] arr) {
for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
if (arr[i] > arr[i + 1]) {
return false;
}
}
return true;
}

/**
* 遍历打印数组
* @param arr 整型数组
*/
public static void printArray(int[] arr) {
if (arr!=null) {
System.out.print("[");
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i]);
if (i != arr.length - 1) {
System.out.print(",");
} else {
System.out.println("]");
}
}
}else{
System.out.println("数组为空!");
}
}

/**
* 通过排序接口,调用各种排序算法进行测试
* @param sortName 排序算法名称
* @param sort 排序统一接口
* @param arr 整型数组
*/
public static void testSort(final String sortName,Sort sort,int[] arr){
SimpleDateFormat sdf = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss:SSS");
Long start = System.currentTimeMillis();
//System.out.println(sortName+"排序开始时间:" + sdf.format(start));
sort.sort(arr);
Long end = System.currentTimeMillis();
//System.out.println(sortName+"排序结束时间:" + sdf.format(end));
System.out.println(sortName+"排序耗用了" + (end - start) + "毫秒");
//断言判断该数组是否已实现升序排序
assert(isSorted(arr));
}

}

Sort.java

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
/**
* 整型数组排序统一接口定义
*/
public interface Sort {

/**
* 整型排序
* @param arr 待排序数组
*/
void sort(int[] arr);
}

SortTest.java

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
/**
* 整数排序测试类
*/
public class SortTest {

public static void main(String[] args) {
int count=100000;

System.out.println("========== 随机乱序 ==========");
// 产生一个随机乱序的数组
int[] randArr = SortUtils.generateRandomArray(count, 0, count);
SortUtils.testSort("1.【冒泡排序】",new BubbleSort(),SortUtils.copyArray(randArr));
SortUtils.testSort("2.【选择排序】",new SelectionSort(),SortUtils.copyArray(randArr));
SortUtils.testSort("3.【插入排序】",new InsertSort(),SortUtils.copyArray(randArr));
SortUtils.testSort("4.【希尔排序】",new ShellSort(),SortUtils.copyArray(randArr));
SortUtils.testSort("5.【快速排序】",new QuickSort(),SortUtils.copyArray(randArr));

System.out.println("========== 近乎顺序 ==========");
// 产生一个近乎顺序的数组
int[] orderArr = SortUtils.generateNearlyOrderedArray(count, 100);
SortUtils.testSort("1.【冒泡排序】",new BubbleSort(),SortUtils.copyArray(orderArr));
SortUtils.testSort("2.【选择排序】",new SelectionSort(),SortUtils.copyArray(orderArr));
SortUtils.testSort("3.【插入排序】",new InsertSort(),SortUtils.copyArray(orderArr));
SortUtils.testSort("4.【希尔排序】",new ShellSort(),SortUtils.copyArray(orderArr));
SortUtils.testSort("5.【快速排序】",new QuickSort(),SortUtils.copyArray(orderArr));
}
}

放入具体的排序算法后,执行main方法,测试排序所需耗时。

排序性能测试

显而易见,在数据量比较大的情况下,不同排序算法的耗时差异是非常大的。

以上代码我已放在了Github,有需要的自取:https://github.com/Logistic98/sort-algorithm

4. 参考资料

[1] 用一个测试类简化排序算法时间复杂度的研究 from 博客园

[2] 十大经典排序算法最强总结(含JAVA代码实现)from 博客园

[3] 烂熟于心的基础排序算法 from Chancel’s Blog